Plantillas matemáticas
Domine los patrones que subyacen a cada pregunta de razonamiento de EPSO: fórmulas numéricas, comprensión de textos y secuencias visuales.
Por qué comprender las plantillas le ofrece una ventaja real
Todas las preguntas de razonamiento numérico de la EPSO se basan en una plantilla, es decir, en un patrón matemático concreto. Solo hay unos pocos patrones de este tipo, y se repiten en todas las oposiciones. Los candidatos que reconocen el patrón pueden resolver la pregunta en 30 segundos. Los que no lo reconocen, están adivinando.
Cuando se entrena sin comprender los patrones, se memorizan respuestas en lugar de aprender métodos. En la próxima competición se utilizarán números diferentes, países diferentes, años diferentes... pero los mismos patrones. Si domina el patrón, lo resolverá al instante. Si no es así, volverá a tener que adivinar.
Los candidatos que dominan las cinco plantillas obtienen sistemáticamente una puntuación superior al 85 % en la sección numérica. Los que no lo hacen obtienen una media del 45 %.
Las 5 plantillas matemáticas
Variación porcentual
Razonamiento numéricoCalcula la variación entre dos valores expresada en porcentaje. Se utiliza cuando EPSO pregunta: «¿En qué porcentaje varió X entre el año A y el año B?».
Fórmula
En pocas palabras
Calcule la diferencia entre el nuevo valor y el antiguo. Divida esa diferencia entre el valor antiguo. Multiplique el resultado por 100 para obtener un porcentaje.
Ejemplo resuelto
El PIB de España fue de 1,208 billones en 2018 y de 1,329 billones en 2022.
¿Cuál fue la variación porcentual del PIB de España?
Si se divide por el valor final (1 329) en lugar del valor inicial (1 208), el resultado es del 9,1 %: es incorrecto, pero lo suficientemente cercano como para parecer correcto.
Errores habituales
- Dividir por el valor final en lugar del inicial
- Olvidarse de multiplicar por 100
- Confundir el cambio absoluto con el porcentaje
Conceptos relacionados
Proporción
Razonamiento numéricoCalcula cuántas veces un valor contiene a otro. Se utiliza cuando EPSO pregunta: «¿Cuál es la relación entre X e Y?».
Fórmula
En pocas palabras
Basta con dividir el primer número entre el segundo. El resultado le indica cuántas veces es mayor (o menor) el primero en comparación con el segundo.
Ejemplo resuelto
Alemania exportó 1,576 billones de euros en mercancías. Francia exportó 586 000 millones de euros.
¿Cuál es la relación entre las exportaciones alemanas y las francesas?
«La relación entre A y B» significa A / B, no B / A. Si se invierten, el resultado es 0,37, es decir, la inversa.
Errores habituales
- Invertir el numerador y el denominador
- Utilizar la suma en lugar de la proporción
- Confundir la proporción con el porcentaje
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Media ponderada
Razonamiento numéricoCalcula una media en la que algunos valores tienen más peso que otros. Se utiliza cuando la EPSO facilita datos per cápita junto con datos de población y solicita una cifra combinada.
Fórmula
En pocas palabras
Multiplique cada valor por su «importancia» (ponderación). Sume todos esos resultados. A continuación, divida el resultado entre la suma de todas las ponderaciones. Piénselo de la siguiente manera: los países más grandes deberían tener más peso a la hora de calcular una media de la UE.
Ejemplo resuelto
Emisiones de CO₂ per cápita: Francia, 4,5 t (67 millones de habitantes); Alemania, 7,3 t (83 millones de habitantes).
¿Cuál es la media ponderada de emisiones de CO₂ per cápita?
La media simple da como resultado (4,5 + 7,3) / 2 = 5,9. Sin embargo, Alemania es un país más grande, por lo que sus mayores emisiones deberían elevar más la media. La media ponderada (6,05) es más alta.
Errores habituales
- Utilizar la media simple en lugar de la media ponderada
- Se han aplicado pesos incorrectos
- Olvidarse de dividir entre la suma de los pesos
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Tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR)
Razonamiento numéricoCalcula la tasa de crecimiento anual constante durante un periodo determinado. Se utiliza cuando EPSO pregunta: «¿Cuál fue la tasa de crecimiento anual?».
Fórmula
En pocas palabras
Divida el valor final entre el valor inicial. A continuación, calcule la «raíz n-ésima» de ese resultado (siendo n el número de años). Reste 1 y multiplique por 100. Piense: «Si el crecimiento hubiera sido perfectamente constante cada año, ¿cuál sería esa tasa anual?».
Ejemplo resuelto
PIB de Polonia: 498 000 millones en 2018, 658 000 millones en 2022 (4 años).
¿Cuál fue la tasa de crecimiento anual compuesta?
Crecimiento total / años = 32,1 % / 4 = 8,0 % es INCORRECTO. La capitalización significa que cada año se suma al anterior. La tasa compuesta (7,2 %) es siempre inferior a esta división simplista.
¿Sin calculadora científica? Calcular la TCAC con la calculadora básica de EPSO
La calculadora en pantalla de EPSO no tiene tecla de potencia ni de raíz, así que no puede introducir la fórmula directamente. No hace falta: las preguntas son de opción múltiple, por lo que se comprueban las opciones en lugar de resolver la ecuación.
Idea clave: crecer a una tasa r durante n años equivale a multiplicar por (1 + r), n veces. Por tanto, Vf ÷ Vi = (1 + r)ⁿ.
El método en 6 pasos
-
1
Cociente. Divida el valor final entre el valor inicial.
-
2
Periodos. Cuente los intervalos, no los años citados: 2018 → 2022 = 4, no 5.
-
3
Límite superior. Calcule (cociente − 1) ÷ n. La TCAC real siempre es menor: descarte este valor y todas las opciones superiores.
-
4
Mejor primera estimación. estimación ≈ media − media × media × (n − 1) ÷ 2. Elija la opción más cercana.
-
5
Multiplique. Convierta la opción en multiplicador (7,2% → 1,072) y elévelo a la potencia n usando solo ×, reutilizando los resultados intermedios:
-
6
Compare. Resultado ≈ cociente → es la respuesta. Demasiado bajo → pruebe la opción superior. Demasiado alto → pruebe la opción inferior.
| n | Pulsaciones |
|---|---|
| 2 | x × x |
| 3 | (x × x) × x |
| 4 | (x × x) × (x × x) |
| 5 | (resultado de n = 4) × x |
| 6 | (resultado de n = 3) × sí mismo |
| 8 | (resultado de n = 4) × sí mismo |
Ejemplo resuelto — el PIB de Polonia sin tecla de raíz
PIB de Polonia: 498 000 millones en 2018, 658 000 millones en 2022 (4 años).
Opciones: A) 6,5% · B) 7,2% · C) 8,0% · D) 8,8%
Cociente: 658 ÷ 498 = 1,3213
Periodos: 2018 → 2022 = 4
Límite superior: 0,3213 ÷ 4 = 8,0% → descarte C y D
Estimación: 0,080 − 0,080 × 0,080 × 3 ÷ 2 ≈ 7,0% → pruebe B
Multiplique: 1,072 × 1,072 = 1,1492 → 1,1492 × 1,1492 = 1,3206
Compare: 1,3206 ≈ 1,3213 ✓
Comprobación de A: 1,065 × 1,065 × 1,065 × 1,065 = 1,2865 — demasiado bajo. Confirmado.
Ejemplo — crecimiento en tres años
Un presupuesto pasa de 400 a 532 millones en 3 años. Opciones: A) 9% · B) 10% · C) 11% · D) 12%
Cociente 532 ÷ 400 = 1,33 → límite 0,33 ÷ 3 = 11%, descarte C y D → pruebe 10%: 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,331 ✓
B) 10% anual
Ejemplo — descenso
La producción baja de 500 a 405 unidades en 2 años. Opciones: A) −9,5% · B) −10% · C) −10,5% · D) −19%
Cociente 405 ÷ 500 = 0,81 (menor que 1 = descenso) → pruebe 0,90 × 0,90 = 0,81 ✓
B) −10% anual
D (−19%) es el descenso total, no la tasa anual.
Regla del 72 — preguntas de duplicación
Si un valor se duplica en n años, TCAC ≈ 72 ÷ n. Úsela para descartar opciones en segundos.
| Se duplica en (años) | TCAC ≈ |
|---|---|
| 6 | 12% |
| 8 | 9% |
| 9 | 8% |
| 10 | 7,2% |
| 12 | 6% |
Memorice las potencias clave
Lea la tabla al revés: cociente 1,26 en 3 años → 8%. Cociente 1,22 en 5 años → 4%.
| Tasa | n = 2 | n = 3 | n = 4 | n = 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2% | 1,040 | 1,061 | 1,082 | 1,104 |
| 3% | 1,061 | 1,093 | 1,126 | 1,159 |
| 4% | 1,082 | 1,125 | 1,170 | 1,217 |
| 5% | 1,103 | 1,158 | 1,216 | 1,276 |
| 6% | 1,124 | 1,191 | 1,262 | 1,338 |
| 7% | 1,145 | 1,225 | 1,311 | 1,403 |
| 8% | 1,166 | 1,260 | 1,360 | 1,469 |
| 10% | 1,210 | 1,331 | 1,464 | 1,611 |
¿No hay opciones?
Pruebe su primera estimación y luego una segunda tasa al otro lado del cociente. Pruebe el punto medio y quédese con la mitad que sigue conteniendo el cociente. Dos o tres rondas bastan para un decimal de precisión.
Comprobación final (5 segundos)
Vi × multiplicadorⁿ ≈ Vf. Ejemplo: 498 × 1,3206 = 657,7 ≈ 658 ✓
Trampas sin calculadora
- La media simple (cociente − 1) ÷ n siempre es demasiado alta — EPSO casi siempre la ofrece.
- Número de periodos erróneo: 2018 → 2022 son 4 periodos, no 5.
- Variación total presentada como tasa anual, sobre todo en descensos.
- Sumar en lugar de multiplicar: +20% y luego −20% = 1,20 × 0,80 = 0,96, una pérdida del 4%.
- Dividir al revés: el cociente siempre es final ÷ inicial.
Errores habituales
- División del crecimiento total por años (crecimiento simple en lugar de compuesto)
- Utilización de un número de años incorrecto
- Confundir el crecimiento total con la tasa anual
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Porcentaje del total
Razonamiento numéricoCalcula qué parte del total representa una parte. Se utiliza cuando EPSO pregunta: «¿Qué porcentaje del total X representa Y?».
Fórmula
En pocas palabras
Divida la parte que le interesa entre el total. Multiplíquelo por 100. Así obtendrá el porcentaje. Piense: «De todo el conjunto, ¿qué proporción representa esta parte?».
Ejemplo resuelto
Presupuesto de la UE: Agricultura 54 800 millones, Cohesión 53 900 millones, Investigación 18 700 millones, Asuntos Exteriores 13 200 millones.
¿Qué porcentaje del presupuesto de la UE se destina a la investigación?
Al dividir el total entre la parte (140,6 / 18,7 = 7,52) se obtiene «cuántas veces mayor es el total», no un porcentaje.
Errores habituales
- Dividir el total entre la parte, en lugar de dividir la parte entre el total
- Utilizar «parte/(total-parte)» en lugar de «parte/total»
- Olvidarse de multiplicar por 100
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Alternancia y relleno
8 patterns
Simetría y reflexión
4 patterns
¿Listo para practicar?
Ahora que ya conoce las plantillas, ponga en práctica sus conocimientos con preguntas reales al estilo de EPSO.
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