Modelos matemáticos
Domine os padrões subjacentes a todas as perguntas de raciocínio do EPSO — fórmulas numéricas, compreensão de textos e sequências visuais.
Porque é que compreender os modelos lhe dá uma verdadeira vantagem
Todas as perguntas de raciocínio numérico do EPSO são criadas a partir de um modelo — um padrão matemático específico. Existe apenas um número reduzido destes padrões, que se repetem em todos os concursos. Os candidatos que reconhecem o padrão conseguem resolver a pergunta em 30 segundos. Os que não o reconhecem limitam-se a adivinhar.
Quando pratica sem compreender os modelos, está a memorizar respostas em vez de aprender métodos. O concurso seguinte utilizará números, países e anos diferentes — mas os mesmos modelos. Se dominar o modelo, resolverá a pergunta de imediato. Caso contrário, voltará a tentar adivinhar.
Os candidatos que dominam os 5 modelos obtêm sistematicamente uma pontuação de 85%+ na secção numérica. Os restantes obtêm, em média, 45%.
Os 5 modelos matemáticos
Variação percentual
Raciocínio numéricoCalcula a variação entre dois valores, expressa em percentagem. Utiliza-se quando o EPSO pergunta «em que percentagem variou X entre o ano A e o ano B?»
Fórmula
Por outras palavras
Calcule a diferença entre o novo valor e o valor anterior. Divida essa diferença pelo valor anterior. Multiplique por 100 para obter uma percentagem.
Exemplo resolvido
O PIB de Espanha era de 1,208 mil milhões em 2018 e de 1,329 mil milhões em 2022.
Qual foi a variação percentual do PIB de Espanha?
Dividir pelo valor final (1,329) em vez do valor inicial (1,208) dá 9.1% -- um resultado errado, mas suficientemente próximo para parecer correto.
Armadilhas comuns
- Dividir pelo valor final em vez do valor inicial
- Esquecer-se de multiplicar por 100
- Confundir a variação absoluta com a variação percentual
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Rácio
Raciocínio numéricoCalcula quantas vezes um valor está contido noutro. Utiliza-se quando o EPSO pergunta «qual é o rácio de X para Y?»
Fórmula
Por outras palavras
Basta dividir o primeiro número pelo segundo. O resultado indica quantas vezes o primeiro é maior (ou menor) do que o segundo.
Exemplo resolvido
A Alemanha exportou bens no valor de 1,576 mil milhões. A França exportou bens no valor de 586 mil milhões.
Qual é o rácio entre as exportações alemãs e as exportações francesas?
"Rácio de A para B" significa A / B, e não B / A. Invertê-los dá 0.37 — o inverso.
Armadilhas comuns
- Inverter o numerador e o denominador
- Utilizar a soma em vez do rácio
- Confundir o rácio com a percentagem
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Média ponderada
Raciocínio numéricoCalcula uma média na qual alguns valores têm mais peso do que outros. É utilizada quando o EPSO fornece dados per capita juntamente com dados populacionais e pede um valor combinado.
Fórmula
Por outras palavras
Multiplique cada valor pela respetiva "importância" (ponderação). Some todos esses resultados. Depois, divida pelo total de todas as ponderações. Pense assim: os países maiores devem ter mais peso no cálculo de uma média da UE.
Exemplo resolvido
CO2 per capita: França 4.5t (pop. 67M), Alemanha 7.3t (pop. 83M).
Qual é a média ponderada de CO2 per capita?
Uma média simples dá (4.5 + 7.3) / 2 = 5.9. Mas a Alemanha é maior — as suas emissões mais elevadas devem fazer subir mais a média. O resultado ponderado (6.05) é superior.
Armadilhas comuns
- Utilizar a média simples em vez da média ponderada
- Aplicar ponderações erradas
- Esquecer-se de dividir pela soma das ponderações
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CAGR (Taxa de crescimento anual composta)
Raciocínio numéricoCalcula a taxa de crescimento anual constante ao longo de um período. É utilizada quando o EPSO pergunta: "qual foi a taxa de crescimento anual?"
Fórmula
Por outras palavras
Divida o valor final pelo valor inicial. Depois, calcule a "raiz n-ésima" desse resultado (em que n é o número de anos). Subtraia 1 e multiplique por 100. Pense assim: "se o crescimento tivesse sido perfeitamente constante em cada ano, qual seria essa taxa anual?"
Exemplo resolvido
PIB da Polónia: 498 mil milhões em 2018, 658 mil milhões em 2022 (4 anos).
Qual foi a taxa de crescimento anual composta?
Crescimento total / anos = 32.1% / 4 = 8.0% está ERRADO. A capitalização significa que cada ano se baseia no anterior. A taxa composta (7.2%) é sempre inferior ao resultado desta divisão simplista.
Sem calculadora científica? Calcular a TCAC com a calculadora básica do EPSO
A calculadora no ecrã do EPSO não tem tecla de potência nem de raiz, por isso não é possível introduzir a fórmula diretamente. Não é necessário: as perguntas são de escolha múltipla, por isso testam-se as opções em vez de resolver a equação.
Ideia-chave: crescer à taxa r durante n anos é multiplicar por (1 + r), n vezes. Logo, Vf ÷ Vi = (1 + r)ⁿ.
O método em 6 passos
-
1
Rácio. Divida o valor final pelo valor inicial.
-
2
Períodos. Conte os intervalos, não os anos indicados: 2018 → 2022 = 4, não 5.
-
3
Limite superior. Calcule (rácio − 1) ÷ n. A TCAC real é sempre inferior: elimine este valor e todas as opções acima dele.
-
4
Melhor primeira estimativa. estimativa ≈ média − média × média × (n − 1) ÷ 2. Escolha a opção mais próxima.
-
5
Multiplique. Converta a opção num multiplicador (7.2% → 1.072) e eleve-o à potência n usando apenas ×, reutilizando os resultados intermédios:
-
6
Comparação. Resultado ≈ rácio → é a resposta. Demasiado baixo → teste a opção seguinte acima. Demasiado alto → teste a opção seguinte abaixo.
| n | Teclas |
|---|---|
| 2 | x × x |
| 3 | (x × x) × x |
| 4 | (x × x) × (x × x) |
| 5 | (resultado para n = 4) × x |
| 6 | (resultado para n = 3) × ele próprio |
| 8 | (resultado para n = 4) × ele próprio |
Exemplo resolvido — o PIB da Polónia sem tecla de raiz
PIB da Polónia: 498 mil milhões em 2018, 658 mil milhões em 2022 (4 anos).
Opções: A) 6.5% · B) 7.2% · C) 8.0% · D) 8.8%
Rácio: 658 ÷ 498 = 1.3213
Períodos: 2018 → 2022 = 4
Limite superior: 0.3213 ÷ 4 = 8.0% → elimine C e D
Estimativa: 0.080 − 0.080 × 0.080 × 3 ÷ 2 ≈ 7.0% → teste B
Multiplique: 1.072 × 1.072 = 1.1492 → 1.1492 × 1.1492 = 1.3206
Compare os valores: 1.3206 ≈ 1.3213 ✓
Verificação de A: 1.065 × 1.065 × 1.065 × 1.065 = 1.2865 — demasiado baixo. Confirmado.
Exemplo — crescimento em três anos
Um orçamento passou de 400 para 532 milhões em 3 anos. Opções: A) 9% · B) 10% · C) 11% · D) 12%
Rácio 532 ÷ 400 = 1.33 → limite 0.33 ÷ 3 = 11%, elimine C e D → teste 10%: 1.1 × 1.1 × 1.1 = 1.331 ✓
B) 10% ao ano
Exemplo — descida
A produção desceu de 500 para 405 unidades em 2 anos. Opções: A) −9.5% · B) −10% · C) −10.5% · D) −19%
Rácio 405 ÷ 500 = 0.81 (abaixo de 1 = descida) → teste 0.90 × 0.90 = 0.81 ✓
B) −10% ao ano
D (−19%) é a descida total, não a taxa anual.
Regra dos 72 — perguntas de duplicação
Se um valor duplica em n anos, TCAC ≈ 72 ÷ n. Use-a para eliminar opções em segundos.
| Duplica em (anos) | TCAC ≈ |
|---|---|
| 6 | 12% |
| 8 | 9% |
| 9 | 8% |
| 10 | 7.2% |
| 12 | 6% |
Memorize as potências-chave
Leia a tabela ao contrário: rácio 1.26 em 3 anos → 8%. Rácio 1.22 em 5 anos → 4%.
| Taxa | n = 2 | n = 3 | n = 4 | n = 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2% | 1.040 | 1.061 | 1.082 | 1.104 |
| 3% | 1.061 | 1.093 | 1.126 | 1.159 |
| 4% | 1.082 | 1.125 | 1.170 | 1.217 |
| 5% | 1.103 | 1.158 | 1.216 | 1.276 |
| 6% | 1.124 | 1.191 | 1.262 | 1.338 |
| 7% | 1.145 | 1.225 | 1.311 | 1.403 |
| 8% | 1.166 | 1.260 | 1.360 | 1.469 |
| 10% | 1.210 | 1.331 | 1.464 | 1.611 |
Sem opções?
Teste a primeira estimativa e depois uma segunda taxa do outro lado do rácio. Teste o ponto médio e fique com a metade que ainda contém o rácio. Duas ou três rondas chegam para uma casa decimal.
Verificação final (5 segundos)
Vi × multiplicadorⁿ ≈ Vf. Exemplo: 498 × 1.3206 = 657.7 ≈ 658 ✓
Armadilhas sem calculadora
- A média simples (rácio − 1) ÷ n é sempre demasiado alta — o EPSO quase sempre a inclui.
- Número de períodos errado: 2018 → 2022 são 4 períodos, não 5.
- Variação total apresentada como taxa anual, sobretudo em descidas.
- Somar em vez de multiplicar: +20% e depois −20% = 1.20 × 0.80 = 0.96, uma perda de 4%.
- Dividir ao contrário: o rácio é sempre final ÷ inicial.
Armadilhas comuns
- Dividir o crescimento total pelo número de anos (crescimento simples em vez de composto)
- Utilizar o número de anos errado
- Confundir o crescimento total com a taxa anual
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Percentagem do total
Raciocínio numéricoCalcula a proporção de um total que corresponde a uma parte. Utiliza-se quando o EPSO pergunta: "que percentagem do total X representa Y?"
Fórmula
Por outras palavras
Divida a parte que lhe interessa pelo total. Multiplique por 100. O resultado é a percentagem. Pense: "de entre o total, quanto representa esta parte?"
Exemplo resolvido
Orçamento da UE: Agricultura 54.8B, Coesão 53.9B, Investigação 18.7B, Ação externa 13.2B.
Que percentagem do orçamento da UE é destinada à investigação?
Dividir o total pela parte (140.6 / 18.7 = 7.52) indica "quantas vezes o total é maior" -- não uma percentagem.
Armadilhas comuns
- Dividir o total pela parte em vez de dividir a parte pelo total
- Utilizar parte/(total-parte) em vez de parte/total
- Esquecer-se de multiplicar por 100
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