Mathematische Lösungsmuster
Beherrschen Sie die Muster hinter den EPSO-Aufgaben: numerische Formeln, Textverständnis und visuelle Folgen.
Warum Ihnen das Verständnis der Lösungsmuster einen echten Vorteil verschafft
Jede EPSO-Aufgabe zum numerischen Denken basiert auf einem bestimmten mathematischen Muster. Es gibt nur wenige solcher Muster, und sie wiederholen sich in jedem Auswahlverfahren. Wer das Muster erkennt, löst die Aufgabe in 30 Sekunden. Wer es nicht erkennt, muss raten.
Wenn Sie ohne Verständnis der Lösungsmuster üben, lernen Sie Antworten auswendig, statt Methoden zu beherrschen. Das nächste Auswahlverfahren verwendet andere Zahlen, Länder und Jahre, aber dieselben Muster. Beherrschen Sie das Muster, können Sie die Aufgabe sofort lösen.
Wer alle 5 Lösungsmuster beherrscht, erreicht im numerischen Teil durchweg 85 % und mehr. Ohne diese Muster liegt der Durchschnitt bei 45 %.
Die 5 mathematischen Lösungsmuster
Prozentuale Veränderung
ZahlenverständnisBerechnet die Veränderung zwischen zwei Werten, ausgedrückt in Prozent. Wird verwendet, wenn EPSO fragt: „Um wie viel Prozent hat sich X zwischen Jahr A und Jahr B verändert?“
Formel
In einfachen Worten
Bilden Sie die Differenz zwischen dem neuen und dem alten Wert. Teilen Sie diese Differenz durch den alten Wert. Multiplizieren Sie mit 100, um einen Prozentwert zu erhalten.
Rechenbeispiel
Spaniens BIP betrug 1.208 Milliarden im Jahr 2018 und 1.329 Milliarden im Jahr 2022.
Wie hoch war die prozentuale Veränderung des spanischen BIP?
Durch den Endwert (1.329) statt durch den Ausgangswert (1.208) zu teilen, ergibt 9,1 % – falsch, aber nah genug, um richtig zu wirken.
Häufige Fallstricke
- Teilen durch den Endwert statt durch den Ausgangswert
- Vergessen, mit 100 zu multiplizieren
- Absolute Veränderung mit prozentualer Veränderung verwechseln
Verwandte Konzepte
Verhältnis
ZahlenverständnisBerechnet, wie oft ein Wert in einem anderen enthalten ist. Wird verwendet, wenn EPSO fragt: „Wie ist das Verhältnis von X zu Y?“
Formel
In einfachen Worten
Teilen Sie die erste Zahl durch die zweite. Das Ergebnis zeigt, wie oft die erste Zahl im Vergleich zur zweiten enthalten ist.
Rechenbeispiel
Deutschland exportierte Waren im Wert von 1.576 Milliarden. Frankreich exportierte 586 Milliarden.
Wie ist das Verhältnis der deutschen zu den französischen Ausfuhren?
„Verhältnis von A zu B“ bedeutet A / B, nicht B / A. Vertauscht ergibt sich 0,37 – der Kehrwert.
Häufige Fallstricke
- Zähler und Nenner vertauschen
- Summe statt Verhältnis verwenden
- Verhältnis mit Prozentsatz verwechseln
Verwandte Konzepte
Gewichteter Durchschnitt
ZahlenverständnisBerechnet einen Durchschnitt, bei dem manche Werte stärker ins Gewicht fallen als andere. Wird verwendet, wenn EPSO Pro-Kopf-Daten zusammen mit Bevölkerungsdaten vorlegt und nach einem Gesamtwert fragt.
Formel
In einfachen Worten
Multiplizieren Sie jeden Wert mit seinem Gewicht. Addieren Sie alle Ergebnisse und teilen Sie anschließend durch die Summe der Gewichte. Merken Sie sich: Größere Länder sollten bei der Berechnung eines EU-Durchschnitts stärker zählen.
Rechenbeispiel
CO2 pro Kopf: Frankreich 4,5 t (Bev. 67 Mio.), Deutschland 7,3 t (Bev. 83 Mio.).
Wie hoch ist der gewichtete Durchschnitt des CO2-Ausstoßes pro Kopf?
Ein einfacher Durchschnitt ergibt (4,5 + 7,3) / 2 = 5,9. Deutschland ist jedoch größer – seine höheren Emissionen sollten den Durchschnitt stärker nach oben ziehen. Das gewichtete Ergebnis (6,05) fällt höher aus.
Häufige Fallstricke
- Einfachen statt gewichteten Durchschnitt verwenden
- Falsche Gewichte angewendet
- Vergessen, durch die Summe der Gewichte zu teilen
CAGR (durchschnittliche jährliche Wachstumsrate)
ZahlenverständnisBerechnet die gleichmäßige jährliche Wachstumsrate über einen Zeitraum. Wird verwendet, wenn EPSO fragt: „Wie hoch war die jährliche Wachstumsrate?“
Formel
In einfachen Worten
Teilen Sie den Endwert durch den Anfangswert. Ziehen Sie dann die „n-te Wurzel“ aus diesem Ergebnis (wobei n die Anzahl der Jahre ist). Ziehen Sie 1 ab und multiplizieren Sie mit 100. Denken Sie daran: „Wenn das Wachstum jedes Jahr völlig gleichmäßig verlaufen wäre – wie hoch wäre diese jährliche Rate?“
Rechenbeispiel
Polens BIP: 498 Milliarden im Jahr 2018, 658 Milliarden im Jahr 2022 (4 Jahre).
Wie hoch war die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate?
Gesamtwachstum / Jahre = 32,1 % / 4 = 8,0 % ist FALSCH. Zinseszinseffekt bedeutet: Jedes Jahr baut auf dem vorherigen auf. Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (7,2 %) liegt immer unter diesem naiven Divisionsergebnis.
Kein wissenschaftlicher Rechner? CAGR mit dem einfachen EPSO-Rechner lösen
Der Bildschirmrechner von EPSO hat keine Potenz- und keine Wurzeltaste – die Formel lässt sich also nicht direkt eingeben. Das ist auch nicht nötig: Die Fragen sind Multiple Choice, Sie prüfen also die Antwortoptionen, statt die Gleichung zu lösen.
Kernidee: n Jahre lang mit der Rate r wachsen heißt, n-mal mit (1 + r) zu multiplizieren. Also Vf ÷ Vi = (1 + r)ⁿ.
Die Methode in 6 Schritten
-
1
Verhältnis. Teilen Sie den Endwert durch den Anfangswert.
-
2
Perioden. Zählen Sie Intervalle, nicht die genannten Jahre: 2018 → 2022 = 4, nicht 5.
-
3
Obergrenze. Berechnen Sie (Verhältnis − 1) ÷ n. Die echte CAGR liegt immer darunter: Streichen Sie diesen Wert und alle höheren Optionen.
-
4
Bessere erste Schätzung. Schätzung ≈ Durchschnitt − Durchschnitt × Durchschnitt × (n − 1) ÷ 2. Wählen Sie die nächstliegende Option.
-
5
Ausmultiplizieren. Wandeln Sie die Option in einen Faktor um (7,2 % → 1,072) und potenzieren Sie ihn nur mit ×, indem Sie Zwischenergebnisse wiederverwenden:
-
6
Vergleichen. Ergebnis ≈ Verhältnis → das ist die Antwort. Zu niedrig → nächsthöhere Option prüfen. Zu hoch → nächstniedrigere Option prüfen.
| n | Tastenfolge |
|---|---|
| 2 | x × x |
| 3 | (x × x) × x |
| 4 | (x × x) × (x × x) |
| 5 | (Ergebnis für n = 4) × x |
| 6 | (Ergebnis für n = 3) × sich selbst |
| 8 | (Ergebnis für n = 4) × sich selbst |
Lösungsbeispiel – Polens BIP ohne Wurzeltaste
Polens BIP: 498 Milliarden im Jahr 2018, 658 Milliarden im Jahr 2022 (4 Jahre).
Optionen: A) 6,5 % · B) 7,2 % · C) 8,0 % · D) 8,8 %
Verhältnis: 658 ÷ 498 = 1,3213
Perioden: 2018 → 2022 = 4
Obergrenze: 0,3213 ÷ 4 = 8,0 % → C und D streichen
Schätzung: 0,080 − 0,080 × 0,080 × 3 ÷ 2 ≈ 7,0 % → B prüfen
Multiplizieren: 1,072 × 1,072 = 1,1492 → 1,1492 × 1,1492 = 1,3206
Vergleichen: 1,3206 ≈ 1,3213 ✓
Gegenprobe A: 1,065 × 1,065 × 1,065 × 1,065 = 1,2865 – zu niedrig. Bestätigt.
Beispiel – Wachstum über drei Jahre
Ein Budget steigt in 3 Jahren von 400 auf 532 Millionen. Optionen: A) 9 % · B) 10 % · C) 11 % · D) 12 %
Verhältnis 532 ÷ 400 = 1,33 → Grenze 0,33 ÷ 3 = 11 %, C und D streichen → 10 % prüfen: 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,331 ✓
B) 10 % pro Jahr
Beispiel – Rückgang
Die Produktion sinkt in 2 Jahren von 500 auf 405 Einheiten. Optionen: A) −9,5 % · B) −10 % · C) −10,5 % · D) −19 %
Verhältnis 405 ÷ 500 = 0,81 (unter 1 = Rückgang) → 0,90 × 0,90 = 0,81 prüfen ✓
B) −10 % pro Jahr
D (−19 %) ist der Gesamtrückgang, nicht die jährliche Rate.
72er-Regel – Verdopplungsfragen
Verdoppelt sich ein Wert in n Jahren, gilt CAGR ≈ 72 ÷ n. So streichen Sie Optionen in Sekunden.
| Verdopplung in (Jahren) | CAGR ≈ |
|---|---|
| 6 | 12% |
| 8 | 9% |
| 9 | 8% |
| 10 | 7,2% |
| 12 | 6% |
Wichtige Potenzen merken
Lesen Sie die Tabelle rückwärts: Verhältnis 1,26 über 3 Jahre → 8 %. Verhältnis 1,22 über 5 Jahre → 4 %.
| Rate | n = 2 | n = 3 | n = 4 | n = 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2% | 1,040 | 1,061 | 1,082 | 1,104 |
| 3% | 1,061 | 1,093 | 1,126 | 1,159 |
| 4% | 1,082 | 1,125 | 1,170 | 1,217 |
| 5% | 1,103 | 1,158 | 1,216 | 1,276 |
| 6% | 1,124 | 1,191 | 1,262 | 1,338 |
| 7% | 1,145 | 1,225 | 1,311 | 1,403 |
| 8% | 1,166 | 1,260 | 1,360 | 1,469 |
| 10% | 1,210 | 1,331 | 1,464 | 1,611 |
Keine Optionen vorgegeben?
Prüfen Sie Ihre erste Schätzung, dann eine zweite Rate auf der anderen Seite des Verhältnisses. Prüfen Sie die Mitte und behalten Sie die Hälfte, die das Verhältnis noch einschließt. Zwei oder drei Runden reichen für eine Nachkommastelle.
Schlussprobe (5 Sekunden)
Vi × Faktorⁿ ≈ Vf. Beispiel: 498 × 1,3206 = 657,7 ≈ 658 ✓
Fallen ohne Rechner
- Der einfache Durchschnitt (Verhältnis − 1) ÷ n ist immer zu hoch – EPSO bietet ihn fast immer an.
- Falsche Periodenzahl: 2018 → 2022 sind 4 Perioden, nicht 5.
- Gesamtveränderung als Jahresrate angeboten, besonders bei Rückgängen.
- Addieren statt multiplizieren: +20 % dann −20 % = 1,20 × 0,80 = 0,96, also 4 % Verlust.
- Falsch herum dividieren: Das Verhältnis ist immer Endwert ÷ Anfangswert.
Häufige Fallstricke
- Gesamtwachstum durch Anzahl der Jahre teilen (einfach statt zusammengesetzt)
- Falsche Anzahl von Jahren verwenden
- Gesamtwachstum mit der jährlichen Rate verwechseln
Verwandte Konzepte
Prozentualer Anteil am Gesamtwert
ZahlenverständnisBerechnet, welchen Anteil ein Teil am Gesamtwert ausmacht. Kommt zum Einsatz, wenn EPSO fragt: „Wie viel Prozent des Gesamtwerts X entfällt auf Y?“
Formel
In einfachen Worten
Teilen Sie den betrachteten Teil durch den Gesamtwert. Multiplizieren Sie mit 100. Das ergibt den Prozentsatz. Denken Sie so: „Wie viel macht dieser eine Teil vom Ganzen aus?“
Rechenbeispiel
EU-Haushalt: Landwirtschaft 54,8 Mrd., Kohäsion 53,9 Mrd., Forschung 18,7 Mrd., Außenbeziehungen 13,2 Mrd.
Wie viel Prozent des EU-Haushalts entfallen auf Forschung?
Den Gesamtwert durch den Teil zu teilen (140,6 / 18,7 = 7,52) ergibt, „um wie viel Mal größer der Gesamtwert ist“ – und keinen Prozentsatz.
Häufige Fallstricke
- Gesamtwert durch Teil teilen statt Teil durch Gesamtwert
- Teil/(Gesamtwert-Teil) statt Teil/Gesamtwert verwenden
- Vergessen, mit 100 zu multiplizieren
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Visuelle Musterfamilien
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Rotation
14 patterns
Akkumulation
7 patterns
Doppelte Geschwindigkeit
3 patterns
Permutation und Vertauschung
2 patterns
Formenwechsel
13 patterns
Pfad und Bewegung
11 patterns
Interaktion und Verschmelzung
3 patterns
Quadranten und Sektoren
8 patterns
Wechsel und Füllung
8 patterns
Symmetrie und Spiegelung
4 patterns
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