Finanzmathematisches Rechnen

Leitfaden zur Finanzmathematik

Lernen Sie die Berechnungen hinter betrieblichen Entscheidungen, Geldwerten im Zeitverlauf und Finanzdaten. Jede Lektion verbindet ein Aufgabensignal mit einer Methode und erprobt sie anschließend an einem neuen Rechenbeispiel.

14 Lektionen 3 Bereiche Etwa 50 Minuten

Eine verlässliche Methode

Lösen Sie jede Aufgabe in vier Schritten

01
Lesen

Bestimmen Sie genau, was berechnet werden soll.
02
Definieren

Benennen Sie Werte, Sätze, Einheiten und Zeiträume.
03
Rechnen

Wenden Sie eine Formel an, bevor Sie runden.
04
Prüfen

Prüfen Sie Vorzeichen, Größenordnung, Einheiten und Nenner.

Die Steuer- und Rechnungslegungsbeispiele vermitteln Rechenmethoden für Prüfungen und sind keine Rechts- oder Anlageberatung. Die tatsächlichen Regeln richten sich nach Rechtsordnung, Rechnungslegungsstandards und Sachverhalt.

Themenübersicht

Wählen Sie die benötigte Berechnung

Mathematische Grundmuster wiederholen

Wechseln Sie die Darstellung für alle Lektionen zugleich.

Bereich 1

Wirtschaftsrechnen

Machen Sie Preise, Kosten, Steuern und Zahlungsströme mit betrieblichen Kennzahlen vergleichbar.

Für Gesamtwerte multiplizieren, für Stückwerte dividieren.

Umsatz und Stückrechnung

Grundlagen

Der Umsatz erfasst die Verkaufserlöse. Die Stückrechnung rechnet Gesamtbeträge auf eine Einheit herunter, damit sich Produkte unterschiedlicher Größenordnung fair vergleichen lassen.

Formel

$$\begin{aligned} R &= p \times q \\ c_u &= \frac{C}{q} \\ \pi_u &= p - c_u \end{aligned}$$

R: Gesamtumsatz
p: Verkaufspreis je Einheit
q: verkaufte Menge
C: Gesamtkosten
c_u: Kosten je Einheit
π/Einheit: Gewinn je Einheit

In einfachen Worten

Multiplizieren Sie Verkaufspreis und Menge, um den Umsatz zu erhalten. Teilen Sie die Gesamtkosten durch die Menge, um die Stückkosten zu berechnen. Ziehen Sie die Stückkosten vom Verkaufspreis ab, um den Stückgewinn zu bestimmen.

Rechenbeispiel

Eine EU-Fortbildungsstelle verkauft 480 digitale Übungslizenzen zu je 27 €. Der Plattformzugang kostet 3.360 €, die Betreuung 5 € je Lizenz.

Wie hoch sind Umsatz, Stückkosten und Gewinn je Lizenz?

1 Umsatz: 480 x 27 € = 12.960 €.
2 Betreuung: 480 x 5 € = 2.400 €. Gesamtkosten: 3.360 € + 2.400 € = 5.760 €.
3 Stückkosten: 5.760 € / 480 = 12 €. Stückgewinn: 27 € - 12 € = 15 €.

Der Umsatz beträgt 12.960 €, die Stückkosten 12 € und der Gewinn je Lizenz 15 €.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer nur die Plattformkosten von 3.360 € durch 480 teilt, lässt die Betreuungskosten außer Acht und setzt den Stückgewinn zu hoch an.

Häufige Fehler

Einen bereits als Gesamtwert angegebenen Betrag nochmals mit der Menge multiplizieren
Unterschiedliche Einheiten vermischen, etwa Monatskosten und Jahresumsatz
Variable Kosten bei der Berechnung der Stückkosten übersehen

Mathematische Grundlagen

Multiplikation Division Skalierung

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Der Aufschlag beginnt bei den Kosten, die Marge endet beim Verkaufspreis.

Aufschlag, Nachlass und Marge

Anwendung

Der Aufschlag bezieht sich auf die Kosten, der Nachlass auf den aktuellen Verkaufspreis und die Gewinnmarge auf den endgültigen Verkaufspreis. Die Nenner unterscheiden sich.

Formel

$$\begin{aligned} S &= C(1+m)(1-d) \\ \text{Marge} &= \frac{S-C}{S} \end{aligned}$$

S: endgültiger Verkaufspreis
C: Einstandspreis
m: Aufschlagssatz auf die Kosten
d: Nachlasssatz auf den ausgezeichneten Preis

In einfachen Worten

Wenden Sie jeden Prozentsatz auf den Betrag an, der im jeweiligen Schritt gilt. Aufschlag und anschließender Nachlass sind aufeinanderfolgende Faktoren; ihre Prozentsätze dürfen nicht einfach addiert oder subtrahiert werden.

Rechenbeispiel

Ein Headset für Sprachtests kostet den Anbieter 80 €. Der Preis wird zunächst um 25 % aufgeschlagen und während einer Aktion anschließend um 10 % gesenkt.

Wie hoch sind der endgültige Preis und die Gewinnmarge?

1 Ausgezeichneter Preis: 80 € x 1,25 = 100 €.
2 Preis nach Nachlass: 100 € x 0,90 = 90 €.
3 Gewinn: 90 € - 80 € = 10 €. Marge: 10 € / 90 € x 100 = 11,1 %.

Der endgültige Preis beträgt 90 €, die Gewinnmarge 11,1 %.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer 25 % Aufschlag minus 10 % Nachlass als einmalige Erhöhung um 15 % behandelt, erhält 92 €. Die beiden Sätze beziehen sich jedoch auf unterschiedliche Grundlagen.

Häufige Fehler

Den Verkaufspreis als Nenner für den Aufschlag verwenden
Die Kosten als Nenner für die Gewinnmarge verwenden
Aufeinanderfolgende prozentuale Änderungen addieren statt die Faktoren zu multiplizieren

Mathematische Grundlagen

Prozentsätze Multiplikation Vergleich und Rangfolge

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Der Deckungsbeitrag deckt zuerst die Fixkosten und erzeugt danach Gewinn.

Kosten, Gewinn und Gewinnschwelle

Anwendung

Fixkosten bleiben innerhalb des betrachteten Bereichs unabhängig von der Ausbringungsmenge. Variable Kosten verändern sich mit der Menge. An der Gewinnschwelle deckt der Deckungsbeitrag die Fixkosten genau.

Formel

$$\begin{aligned} C(q) &= F + vq \\ \Pi(q) &= pq - F - vq \\ q_{BE} &= \frac{F}{p-v} \end{aligned}$$

F: Fixkosten
v: variable Kosten je Einheit
p: Verkaufspreis je Einheit
q: Menge
qBE: Menge an der Gewinnschwelle

In einfachen Worten

Jeder Verkauf trägt mit dem Verkaufspreis abzüglich der variablen Stückkosten zur Deckung bei. Teilen Sie die Fixkosten durch diesen Deckungsbeitrag, um die Absatzmenge an der Gewinnschwelle zu bestimmen.

Rechenbeispiel

Für einen Zertifizierungsworkshop fallen feste Raum- und Produktionskosten von 7.200 € an. Ein Platz kostet 95 € und verursacht variable Kosten von 35 €.

Bei wie vielen Plätzen ist die Gewinnschwelle erreicht, und wie hoch ist der Gewinn bei 150 Plätzen?

1 Deckungsbeitrag je Platz: 95 € - 35 € = 60 €.
2 Gewinnschwelle: 7.200 € / 60 € = 120 Plätze.
3 Gewinn bei 150 Plätzen: 150 x 60 € - 7.200 € = 1.800 €.

Die Gewinnschwelle liegt bei 120 Plätzen. Bei 150 Plätzen beträgt der Gewinn 1.800 €.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer die Fixkosten durch den Verkaufspreis von 95 € teilt, erhält 75,8 Plätze, lässt aber die variablen Kosten von 35 € je Verkauf außer Acht.

Häufige Fehler

Fixkosten durch den Preis statt durch den Deckungsbeitrag teilen
Variable Kosten nur einmal statt für jede Einheit ansetzen
Die Menge an der Gewinnschwelle abrunden, obwohl nur ganze Einheiten möglich sind

Mathematische Grundlagen

Multiplikation Division Vergleich und Rangfolge

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Vom Umsatz geht es über mehrere Kostenstufen zum Nettogewinn.

Die Gewinnstufen

Anwendung

Bruttogewinn, Betriebsergebnis, Ergebnis vor Steuern und Nettogewinn liegen auf unterschiedlichen Stufen. Auf jeder Stufe wird eine klar abgegrenzte Kostenebene abgezogen.

Formel

$$\begin{aligned} G &= R-COGS \\ O &= G-OE \\ PBT &= O+OI-I \\ N &= PBT-T \end{aligned}$$

R: Umsatz
COGS: Umsatzkosten
OE: betriebliche Aufwendungen
OI: sonstige Erträge
I: Zinsaufwand
T: Steuern
N: Nettogewinn

In einfachen Worten

Beginnen Sie mit dem Umsatz. Ziehen Sie direkte Herstellungs- oder Beschaffungskosten ab, um den Bruttogewinn zu erhalten. Nach Abzug der betrieblichen Aufwendungen ergibt sich das Betriebsergebnis. Sonstige Erträge, Zinsen und Steuern führen schließlich zum Nettogewinn.

Rechenbeispiel

Ein kleiner Prüfungsverlag weist 240.000 € Umsatz, 138.000 € Umsatzkosten, 61.000 € betriebliche Aufwendungen, 3.000 € Zinsaufwand und 9.500 € Steuern aus.

Berechnen Sie Bruttogewinn, Betriebsergebnis, Ergebnis vor Steuern und Nettogewinn.

1 Bruttogewinn: 240.000 € - 138.000 € = 102.000 €.
2 Betriebsergebnis: 102.000 € - 61.000 € = 41.000 €.
3 Ergebnis vor Steuern: 41.000 € - 3.000 € = 38.000 €.
4 Nettogewinn: 38.000 € - 9.500 € = 28.500 €.

Der Bruttogewinn beträgt 102.000 €, das Betriebsergebnis 41.000 €, das Ergebnis vor Steuern 38.000 € und der Nettogewinn 28.500 €.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer jeden Gewinn vor Steuern als Bruttogewinn bezeichnet, verwischt Umsatzkosten und betriebliche Aufwendungen, obwohl sie verschiedenen Stufen zugeordnet sind.

Häufige Fehler

Umsatz mit Gewinn gleichsetzen
Betriebliche Aufwendungen zweimal abziehen
Das Ergebnis vor Steuern als Nettogewinn bezeichnen

Mathematische Grundlagen

Summenbildung und Gesamtwerte Teile und Ganzes Vergleich und Rangfolge

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Steuer auf den Nettobetrag aufschlagen, aus dem Bruttobetrag herausrechnen.

Brutto- und Nettopreise

Anwendung

Ein Nettopreis ist die Grundlage vor Steuern. Ein Bruttopreis enthält die Steuer bereits; deshalb muss die Grundlage herausgerechnet werden. Die Mehrwertsteuer wird auf den steuerpflichtigen Wert erhoben, nicht einfach auf den bilanziellen Gewinn.

Formel

$$\begin{aligned} G &= N(1+t) \\ N &= \frac{G}{1+t} \\ T &= G\frac{t}{1+t} \end{aligned}$$

G: Bruttopreis einschließlich Steuer
N: Nettopreis ohne Steuer
t: Steuersatz als Dezimalzahl
T: im Bruttopreis enthaltener Steuerbetrag

In einfachen Worten

Multiplizieren Sie den Nettopreis mit eins plus Steuersatz, um die Steuer aufzuschlagen. Ist die Steuer bereits enthalten, teilen Sie den Bruttopreis durch eins plus Steuersatz. Die Differenz ist der Steuerbetrag.

Rechenbeispiel

Eine Rechnung beläuft sich einschließlich 21 % Mehrwertsteuer auf 2.904 €.

Wie hoch sind Nettopreis und Mehrwertsteuerbetrag?

1 21 % entsprechen 0,21; der Bruttofaktor beträgt daher 1,21.
2 Nettopreis: 2.904 € / 1,21 = 2.400 €.
3 Mehrwertsteuer: 2.904 € - 2.400 € = 504 €.

Der Nettopreis beträgt 2.400 €, der Mehrwertsteuerbetrag 504 €.

Zu vermeidender Fallstrick

21 % des Bruttobetrags von 2.904 € ergeben 609,84 €. Der Satz von 21 % gilt jedoch für die Nettogrundlage, nicht für den bereits besteuerten Gesamtbetrag.

Häufige Fehler

Den Steuersatz direkt vom Bruttopreis abziehen
Den Steuersatz auf den bilanziellen Gewinn anwenden
Vereinnahmte Steuer mit dem beim Verkäufer verbleibenden Umsatz verwechseln

Mathematische Grundlagen

Prozentsätze Brüche Division

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Gleicher Gewinn, anderer Nenner.

Gewinnmarge und Kapitalrendite

Anwendung

Die Gewinnmarge setzt den Gewinn ins Verhältnis zum Umsatz. Die Kapitalrendite setzt den Nettovorteil ins Verhältnis zum eingesetzten Kapital. Derselbe Gewinn kann deshalb zu unterschiedlichen Prozentsätzen führen.

Formel

$$\begin{aligned} \text{Gewinnmarge} &= \frac{\Pi}{R} \times 100 \\ ROI &= \frac{\text{Nettovorteil}}{\text{Investitionskosten}} \times 100 \end{aligned}$$

Gewinn: Gewinn des Zeitraums
R: Umsatz des Zeitraums
Nettovorteil: Ertrag nach den relevanten Kosten
Investitionskosten: für das Projekt eingesetztes Kapital

In einfachen Worten

Für die Marge steht der Umsatz im Nenner. Für die Kapitalrendite verwenden Sie die festgelegte Investitionsbasis als Nenner des Nettovorteils. Geben Sie beim Vergleich von Projekten Zeitraum und Investitionsbasis an.

Rechenbeispiel

Ein neuer Onlinekurs erzielt im ersten Jahr 90.000 € Umsatz und 18.000 € Gewinn. Das Unternehmen hat 40.000 € Startkapital eingesetzt.

Wie hoch sind Gewinnmarge und Kapitalrendite im ersten Jahr?

1 Gewinnmarge: 18.000 € / 90.000 € x 100 = 20 %.
2 Kapitalrendite: 18.000 € / 40.000 € x 100 = 45 %.
3 Die Werte unterscheiden sich, weil Umsatz und eingesetztes Kapital verschiedene Bezugsgrößen sind.

Die Gewinnmarge beträgt 20 %. Die Kapitalrendite im ersten Jahr beträgt 45 %.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer den Gewinn durch die betrieblichen Aufwendungen teilt und das Ergebnis als Kapitalrendite bezeichnet, verwendet einen undefinierten Nenner, sofern diese Aufwendungen nicht ausdrücklich die Investitionsbasis bilden.

Häufige Fehler

Den Umsatz als Nenner der Kapitalrendite verwenden
Die Investitionskosten als Nenner der Gewinnmarge verwenden
Kapitalrenditen aus unterschiedlichen Zeiträumen vergleichen

Mathematische Grundlagen

Brüche Prozentsätze Vergleich und Rangfolge

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Zählen Sie Geld, wenn es tatsächlich fließt.

Cashflow

Grundlagen

Der Cashflow erfasst Geld in dem Moment, in dem es auf einem Konto ein- oder ausgeht. Er unterscheidet sich vom bilanziellen Gewinn, der unbezahlte Rechnungen und nicht zahlungswirksame Aufwendungen enthalten kann.

Formel

$$\begin{aligned} NCF &= \sum \text{Einzahlungen} - \sum \text{Auszahlungen} \\ C_{close} &= C_{open} + NCF \end{aligned}$$

NCF: Netto-Cashflow des Zeitraums
C Anfang: Zahlungsmittelbestand zu Beginn
C Ende: Zahlungsmittelbestand am Ende

In einfachen Worten

Addieren Sie alle eingegangenen Zahlungen. Ziehen Sie alle geleisteten Zahlungen ab. Addieren Sie die Nettoveränderung zum Anfangsbestand, um den Endbestand zu erhalten.

Rechenbeispiel

Ein Fortbildungsanbieter beginnt den Monat mit 18.000 €. Er erhält 74.000 € von Kunden, zahlt 62.000 € an Personal und Lieferanten und kauft Geräte für 14.000 € in bar.

Wie hoch sind Netto-Cashflow und Zahlungsmittelbestand am Monatsende?

1 Einzahlungen insgesamt: 74.000 €.
2 Auszahlungen insgesamt: 62.000 € + 14.000 € = 76.000 €.
3 Netto-Cashflow: 74.000 € - 76.000 € = -2.000 €. Endbestand: 18.000 € - 2.000 € = 16.000 €.

Der Netto-Cashflow beträgt -2.000 €, der Zahlungsmittelbestand am Monatsende 16.000 €.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer den Gerätekauf ausklammert, weil er kein gewöhnlicher Betriebsaufwand ist, setzt den Zahlungsmittelbestand um 14.000 € zu hoch an.

Häufige Fehler

Eine unbezahlte Kundenrechnung als Einzahlung behandeln
Zahlungsströme aus Investitions- oder Finanzierungstätigkeit übersehen
Annehmen, dass ein positiver Gewinn stets einen positiven Cashflow bedeutet

Mathematische Grundlagen

Summenbildung und Gesamtwerte Vergleich und Rangfolge Teile und Ganzes

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Bereich 2

Geld im Zeitverlauf

Berechnen Sie Kaufkraft, Finanzierungskosten und wiederholte Veränderungen über mehrere Zeiträume.

Bereinigen Sie nominale Geldbeträge mit dem Verhältnis der Preisindizes.

Inflation, Verbraucherpreisindex und Realwert

Fortgeschritten

Ein Preisindex verfolgt die Kosten eines festgelegten Warenkorbs. Seine prozentuale Veränderung dient als Schätzung der Inflation. Wird ein Nominalwert um die Indexveränderung bereinigt, ergibt sich seine Kaufkraft in Preisen des Basiszeitraums.

Formel

$$\begin{aligned} i &= \frac{CPI_1}{CPI_0}-1 \\ V_{real,0} &= V_1\frac{CPI_0}{CPI_1} \\ g_{real} &= \frac{1+g_n}{1+i}-1 \end{aligned}$$

i: Inflationsrate
CPI₀: Preisindex zu Beginn
CPI₁: Preisindex am Ende
V₁: späterer Nominalwert
g nominal: nominale Wachstumsrate
g real: inflationsbereinigte Wachstumsrate

In einfachen Worten

Berechnen Sie zuerst die Veränderung des Index. Um die Inflation herauszurechnen, multiplizieren Sie den späteren Nominalbetrag mit dem alten Index und teilen durch den neuen. Reales Wachstum vergleicht Kaufkraft, nicht aufgedruckte Eurobeträge.

Rechenbeispiel

Ein Gehalt steigt von 40.000 € auf 42.840 €, während der Verbraucherpreisindex von 120 auf 126 steigt.

Wie hoch sind Inflation, späteres Gehalt in Euro des Ausgangszeitraums und reales Gehaltswachstum?

1 Inflation: 126 / 120 - 1 = 0,05 = 5 %.
2 Späteres Gehalt in Euro des Ausgangszeitraums: 42.840 € x 120 / 126 = 40.800 €.
3 Reales Gehaltswachstum: 40.800 € / 40.000 € - 1 = 2 %.

Die Inflation beträgt 5 %. Das spätere Gehalt ist in Preisen des Ausgangszeitraums 40.800 € wert; der reale Zuwachs beträgt 2 %.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer 5 % Inflation vom nominalen Gehaltsanstieg von 7,1 % abzieht, erhält 2,1 %. Das exakte reale Wachstum ergibt sich durch Division der beiden Wachstumsfaktoren und beträgt 2 %.

Häufige Fehler

Prozentsätze subtrahieren, obwohl eine exakte Faktorberechnung nötig ist
Bei der Inflationsbereinigung mit dem Verhältnis Endindex / Anfangsindex multiplizieren
Nominalwerte verschiedener Jahre ohne Bereinigung vergleichen

Mathematische Grundlagen

Prozentsätze Division Vergleich und Rangfolge Zeitdimension

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Die Zinsbasis bleibt das ursprüngliche Kapital.

Einfache Verzinsung

Grundlagen

Bei einfacher Verzinsung werden Zinsen nur auf das ursprüngliche Kapital berechnet. Die Zeiteinheit muss zum Zeitraum des Zinssatzes passen.

Formel

$$\begin{aligned} I &= Prt \\ A &= P(1+rt) \end{aligned}$$

P: Kapital
r: einfacher Jahreszinssatz
t: Laufzeit in Jahren
I: berechnete oder erhaltene Zinsen
A: Endbetrag

In einfachen Worten

Multiplizieren Sie das Kapital mit dem Jahreszinssatz und dem entsprechenden Jahresanteil. Addieren Sie die Zinsen zum Kapital, um den Endbetrag zu erhalten.

Rechenbeispiel

Eine Organisation nimmt für acht Monate ein Darlehen von 18.000 € zu einem einfachen Jahreszinssatz von 4,5 % auf.

Wie hoch sind die fälligen Zinsen und der Rückzahlungsbetrag?

1 Acht Monate in Jahre umrechnen: 8 / 12 = 2 / 3.
2 Zinsen: 18.000 € x 0,045 x 2 / 3 = 540 €.
3 Rückzahlung: 18.000 € + 540 € = 18.540 €.

Die Zinsen betragen 540 €, der Rückzahlungsbetrag 18.540 €.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer bei einem Jahreszinssatz t = 8 setzt, behandelt acht Monate wie acht Jahre.

Häufige Fehler

Monate nicht in einen Jahresanteil umrechnen
Den Endbetrag statt des Kapitals als Zinsbasis verwenden
Zinseszinsen berechnen, obwohl ausdrücklich einfache Verzinsung verlangt ist

Mathematische Grundlagen

Prozentsätze Multiplikation Verhältnisse und Skalierung Zeitdimension

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Jeder Satz verändert die Grundlage für den nächsten.

Zinseszins und wiederholtes Wachstum

Fortgeschritten

Bei der Verzinsung mit Zinseszins beginnt jeder Zeitraum mit dem Ergebnis des vorherigen. Für konstante Sätze wird eine Potenz verwendet, für wechselnde Sätze das Produkt der einzelnen Periodenfaktoren.

Formel

$$\begin{aligned} A &= P(1+i)^n \\ A &= P\prod_{k=1}^{n}(1+i_k) \end{aligned}$$

P: Ausgangskapital oder Ausgangswert
A: aufgelaufener Endbetrag
i: konstanter Satz je Zeitraum
iₖ: Satz im Zeitraum k
n: Anzahl der Verzinsungszeiträume

In einfachen Worten

Wandeln Sie jede prozentuale Änderung in einen Faktor um. Multiplizieren Sie den Ausgangswert der Reihe nach mit allen Periodenfaktoren. Für eine Abnahme verwenden Sie einen Faktor unter eins.

Rechenbeispiel

Eine Programmreserve beträgt zunächst 25.000 €. Sie wächst im ersten Jahr um 3 %, im zweiten um 5 % und sinkt im dritten um 2 %.

Wie hoch ist die Reserve nach drei Jahren?

1 Sätze in Faktoren umwandeln: 1,03, 1,05 und 0,98.
2 Nacheinander anwenden: 25.000 € x 1,03 x 1,05 x 0,98.
3 Das Ergebnis beträgt 26.496,75 €.

Nach drei Jahren beträgt die Reserve 26.496,75 €.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer 3 % + 5 % - 2 % addiert und einmalig 6 % anwendet, erhält 26.500 €. Das liegt nahe am richtigen Wert, ignoriert aber die wechselnden Grundlagen.

Häufige Fehler

Wiederholte prozentuale Änderungen addieren
Die Anzahl der Jahresangaben statt der verstrichenen Intervalle verwenden
Eine Abnahme als 1,02 statt als 0,98 schreiben

Mathematische Grundlagen

Prozentsätze Potenzen und Wurzeln Exponentielles Wachstum Zeitdimension

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Bereich 3

Märkte und Wirtschaft

Interpretieren Sie Marktanteile, Unternehmensanteile, Handelsdaten und gesamtwirtschaftliche Vergleiche.

Unternehmensanteil durch Gesamtmarkt.

Grundlagen

Der Marktanteil ergibt sich aus einer Unternehmenskennzahl geteilt durch die entsprechende Kennzahl des Gesamtmarkts. Beide Werte müssen dasselbe Produkt, Gebiet und denselben Zeitraum abdecken.

Formel

$$\begin{aligned} s &= \frac{C}{M} \times 100 \\ C &= \frac{s}{100}M \end{aligned}$$

s: Marktanteil in Prozent
C: Unternehmensumsatz
M: Gesamtmarktumsatz

In einfachen Worten

Teilen Sie den Unternehmensumsatz durch den Gesamtmarktumsatz, um den Marktanteil zu erhalten. Multiplizieren Sie das Marktvolumen mit einem Zielanteil, um den dafür nötigen Unternehmensumsatz zu bestimmen.

Ein Markt für digitales Lernen hat ein Volumen von 24,6 Mio. €. Ein Anbieter erzielt 3,69 Mio. € Umsatz. Für das nächste Jahr wird ein Marktvolumen von 27 Mio. € erwartet.

Wie hoch ist der aktuelle Marktanteil, und welcher Umsatz wäre im nächsten Jahr für einen Anteil von 18 % nötig?

1 Aktueller Marktanteil: 3,69 Mio. € / 24,6 Mio. € x 100 = 15 %.
2 Zielwert in eine Dezimalzahl umwandeln: 18 % = 0,18.
3 Erforderlicher Umsatz: 0,18 x 27 Mio. € = 4,86 Mio. €.

Der aktuelle Marktanteil beträgt 15 %. Ein Umsatz von 4,86 Mio. € ergäbe im nächsten Jahr einen Marktanteil von 18 %.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer 18 % auf das alte Marktvolumen von 24,6 Mio. € anwendet, ignoriert die erwartete Veränderung des Nenners.

Häufige Fehler

Gesamtmarktumsatz durch Unternehmensumsatz teilen
Verkaufte Stückzahlen mit Marktumsätzen vermischen
Unterschiedliche Zeiträume oder geografische Märkte vergleichen

Mathematische Grundlagen

Teile und Ganzes Prozentsätze Verhältnisse und Skalierung

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Für die Beteiligung zählen aktuelle Aktien, für den Gewinn je Aktie der gewichtete Durchschnitt.

Aktien, Dividenden und Gewinn je Aktie

Fortgeschritten

Die Beteiligungsquote verwendet gehaltene Aktien im Verhältnis zu den ausstehenden Aktien. Dividenden verteilen den beschlossenen Betrag auf die dividendenberechtigten Aktien. Beim unverwässerten Gewinn je Aktie werden das den Stammaktionären zustehende Ergebnis und die gewichtete durchschnittliche Zahl der Stammaktien verwendet.

Formel

$$\begin{aligned} o &= \frac{h}{S} \times 100 \\ DPS &= \frac{D}{S} \\ EPS &= \frac{NI-PD}{\overline{S}} \end{aligned}$$

h: vom Anleger gehaltene Aktien
S: dividendenberechtigte oder ausstehende Stammaktien
D: beschlossene Stammdividende insgesamt
NI: Nettoergebnis
PD: Vorzugsdividenden
S Ø: gewichtete durchschnittliche Zahl der Stammaktien

In einfachen Worten

Teilen Sie den Aktienbestand durch die ausstehenden Aktien, um die Beteiligungsquote zu berechnen. Teilen Sie die Stammdividende durch die berechtigten Aktien, um die Dividende je Aktie zu erhalten. Für den unverwässerten Gewinn je Aktie ziehen Sie Vorzugsdividenden vom Nettoergebnis ab und teilen durch die gewichtete durchschnittliche Zahl der Stammaktien.

Rechenbeispiel

Ein Unternehmen hat am Dividendenstichtag 2,4 Mio. Stammaktien. Ein Anleger hält 36.000 davon. Das Unternehmen beschließt eine Stammdividende von 600.000 €. Das Nettoergebnis beträgt 1,92 Mio. €, die Vorzugsdividenden 120.000 € und die gewichtete durchschnittliche Zahl der Stammaktien 1,8 Mio.

Berechnen Sie Beteiligungsquote, Dividende des Anlegers und unverwässerten Gewinn je Aktie.

1 Beteiligung: 36.000 / 2.400.000 x 100 = 1,5 %.
2 Dividende je Aktie: 600.000 € / 2.400.000 = 0,25 €. Dividende des Anlegers: 36.000 x 0,25 € = 9.000 €.
3 Unverwässerter Gewinn je Aktie: (1.920.000 € - 120.000 €) / 1.800.000 = 1,00 €.

Die Beteiligungsquote beträgt 1,5 %, die Dividende des Anlegers 9.000 € und der unverwässerte Gewinn je Aktie 1,00 €.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer für den Gewinn je Aktie die 2,4 Mio. Aktien am Stichtag verwendet, ignoriert den vorgegebenen gewichteten Durchschnitt für den Berichtszeitraum.

Häufige Fehler

Genehmigte statt ausstehender Aktien verwenden
Vorzugsdividenden beim unverwässerten Gewinn je Aktie nicht abziehen
Aktienbestand am Periodenende statt gewichteten Durchschnitt für den Gewinn je Aktie verwenden

Mathematische Grundlagen

Teile und Ganzes Prozentsätze Division Durchschnitte und gewichtete Durchschnitte

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Hoch minus Tief, Schluss minus Eröffnung.

OHLC-Daten und Kursrendite

Anwendung

OHLC-Daten erfassen Eröffnungs-, Höchst-, Tiefst- und Schlusskurs eines Zeitraums. Eröffnungs- und Schlusskurs müssen zwischen Tiefst- und Höchstkurs liegen. Die Kursrendite enthält keine Dividenden, sofern nichts anderes angegeben ist.

Formel

$$\begin{aligned} \text{Spanne} &= H-L \\ r &= \frac{C-O}{O} \times 100 \end{aligned}$$

O: Eröffnungskurs
H: Höchstkurs
L: Tiefstkurs
C: Schlusskurs
r: Kursrendite zwischen Eröffnung und Schluss

In einfachen Worten

Ziehen Sie den Tiefstkurs vom Höchstkurs ab, um die Handelsspanne zu bestimmen. Ziehen Sie den Eröffnungskurs vom Schlusskurs ab und teilen Sie durch den Eröffnungskurs, um die Kursrendite zwischen Eröffnung und Schluss zu berechnen.

Rechenbeispiel

Eine Aktie eröffnet bei 45,20 €, erreicht 47,10 €, fällt auf 44,80 € und schließt bei 46,33 €.

Wie hoch sind Handelsspanne und Rendite zwischen Eröffnung und Schluss?

1 Handelsspanne: 47,10 € - 44,80 € = 2,30 €.
2 Kursänderung: 46,33 € - 45,20 € = 1,13 €.
3 Rendite: 1,13 € / 45,20 € x 100 = 2,5 %.

Die Handelsspanne beträgt 2,30 €, die Rendite zwischen Eröffnung und Schluss 2,5 %.

Zu vermeidender Fallstrick

Wer den Höchstkurs von 47,10 € als Endkurs verwendet, berechnet eine Bewegung, die bis zum Handelsschluss nicht erhalten blieb.

Häufige Fehler

Den Höchstkurs als Schlusskurs behandeln
Die Kursänderung durch den Schlusskurs teilen
OHLC-Daten akzeptieren, bei denen Eröffnungs- oder Schlusskurs außerhalb der Spanne zwischen Tiefst- und Höchstkurs liegen

Mathematische Grundlagen

Vergleich und Rangfolge Prozentsätze Division

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Absolute Veränderung und prozentuales Wachstum beantworten verschiedene Fragen.

BIP- und Indexvergleiche

Anwendung

Das BIP misst den Marktwert aller in einer Volkswirtschaft während eines Zeitraums produzierten Endprodukte und Dienstleistungen. Für das Mengenwachstum ist das reale BIP maßgeblich. Ein Rückgang zeigt eine Schrumpfung an, erfüllt allein aber nicht zwingend jede formale Definition einer Rezession.

Formel

$$\begin{aligned} \Delta V &= V_1-V_0 \\ g &= \frac{V_1-V_0}{V_0} \times 100 \\ I_t &= \frac{V_t}{V_{base}} \times 100 \end{aligned}$$

V_0: BIP- oder Indexwert zu Beginn
V_1: späterer BIP- oder Indexwert
ΔV: absolute Veränderung
g: prozentuale Wachstumsrate
I_t: Indexwert im Zeitraum t

In einfachen Worten

Subtrahieren Sie die Werte, um die absolute Veränderung zu erhalten. Teilen Sie diese Veränderung durch den Ausgangswert, um das Wachstum zu berechnen. Bei einem Index wird der Basiszeitraum auf 100 gesetzt; Indexänderungen werden mit derselben Formel für prozentuale Veränderungen ausgewertet.

Rechenbeispiel

Das reale BIP von Region A steigt von 260 Mrd. € auf 273 Mrd. €. Das reale BIP von Region B steigt von 90 Mrd. € auf 97,2 Mrd. €.

Welche Region erhöht ihre Wirtschaftsleistung stärker, und welche wächst schneller?

1 Region A, absoluter Anstieg: 273 Mrd. € - 260 Mrd. € = 13 Mrd. €. Wachstum: 13 Mrd. € / 260 Mrd. € x 100 = 5 %.
2 Region B, absoluter Anstieg: 97,2 Mrd. € - 90 Mrd. € = 7,2 Mrd. €. Wachstum: 7,2 Mrd. € / 90 Mrd. € x 100 = 8 %.
3 Vergleichen Sie absolute Zuwächse und prozentuale Wachstumsraten getrennt.

Region A steigert ihre Wirtschaftsleistung absolut stärker (13 Mrd. €), Region B wächst jedoch schneller (8 % gegenüber 5 %).

Zu vermeidender Fallstrick

Region A wegen ihres größeren Eurozuwachses als schneller wachsend einzustufen, verwechselt absolute Größenordnung mit prozentualem Wachstum.

Häufige Fehler

Die Veränderung durch den Endwert teilen
Nominales mit realem BIP-Wachstum verwechseln
Prozentuales Wachstum anhand der absoluten Veränderung einstufen

Mathematische Grundlagen

Prozentsätze Vergleich und Rangfolge Division Skalierung

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Aus Methode wird Tempo

Wenden Sie die Formeln unter Prüfungsbedingungen an

Rechnen Sie zunächst ohne Zeitdruck. Wiederholen Sie die Aufgaben dann mit Tabellen und Diagrammen, bis Sie Nenner, Satz und Zeitraum ohne Zögern erkennen.

Numerisches Üben starten Leitfaden zum numerischen Denken öffnen